Toàn bộ số nguyên dương được chia làm ba loại: Loại $I$ là các số nguyên tố ( như $2,3,5,7,11,13,…$), Loại $II$ là các hợp số ($4,6,8,9,10,…$). Số “$1$” không phải là số nguyên tố, cũng không phải là hợp số nên nó là một loại riêng thứ $3$.
Số nguyên tố là những số chỉ chia hết cho $1$ và chính nó, còn hợp số có thể chia hết cho những số khác. Ví dụ, hợp số $6$, ngoài chia hết cho $1$ và $6$ ra, nó còn chia hết cho $2$ và $3$. Đây là lý do chính để chia ra thành loại hợp số và số nguyên tố.Nhưng số $1$ cũng chia hết cho $1$ và chính nó, vì sao không gọi là số nguyên tố ? Nếu $1$ là số nguyên tố thì chỉ cần chia số tự nhiên thành $2$ loại có tốt hơn không ?Để trả lời vấn đề này, trước tiên ta phải đặt vấn đề vì sao phải bàn đến số nguyên tố.Ví dụ số $3003$ có thể chia hết cho số nguyên tố nào? Cũng có nghĩa là số nào là thừa số của $3003$ ? Đương nhiên ta có thể xét tất cả các số từ $1$ đến $3003$, nhưng như vậy thì rất tốn công.Chúng ta biết rằng, hợp số có thể là tích của nhiều số nguyên tố, tức là nhân nhiều số nguyên tố với nhau, nói cách khác, chính là phân tích thành thừa số nguyên tố. Đương nhiên, mỗi hợp số đều có thể phân tích thành thừa số nguyên tố và chỉ có một kết quả mà thôi ( tất nhiên không kể đến thứ tự các thừa số).Ví dụ : số $3003$ có thể phân tích thành $3.7.11.13$Bây giờ ta quay trở lại vấn đề vì sao $1$ không phải là số nguyên tố. Nếu $1$ được coi là số nguyên tố thì khi phân tích một hợp số thành thừa số nguyên tố, đáp án sẽ không phải là duy nhất nữa!Ví dụ : Phân tích số $3003$ thành thừa số nguyên tố sẽ xảy ra các trường hợp sau:$3003 = 3.7.11.13$$3003 = 1.3.7.11.13$$3003 = 1.1.3.7.11.13$…Như vậy, khi phân tích có thể tuỳ ý thêm các thừa số $1$ vào như vậy quả thực là không cần thiết chút nào, và kết quả phân tích lại không duy nhất, chỉ tăng thêm những phiền phức không cần thiết. Vì vậy $1$ không được coi là số nguyên tố.Khái niệm số nguyên tố là rất cơ bản nhưng nhiều người từ giáo viên đến học sinh vẫn hay nhầm: “số nguyên tố là số tự nhiên chỉ chia hết cho $1$ và chính nó” mà quên rằng: “số nguyên tố phải lớn hơn $1$“. Mong rằng, sai lầm này sẽ không còn lặp lại ở các bạn giáo viên và học sinh nữa.
Thêm 1 khẳng định nữa chứng tỏ 1 không thể là số nguyên tố.Ta dựa vào công thức tính hàm euler:Với $n$ có dạng phân tích thành nhân tử là :$$ n = p_1 ^{a_1 } .p_2 ^{a_2 } ….p_k ^{a_k } $$$$ varphi (n) = nleft (1 – dfrac{1}{{p_1 }}
ight ).left (1 – dfrac{1}{{p_2 }}
ight )…left (1 – dfrac{1}{{p_n }}
ight ) $$Như vậy nếu coi $ p_k $=1 thì $ varphi (n) = 0 $ nên mọi $n$ đều không có ước nguyên tố (vô lý).
