Phương trình, bất phương trình và hệ phương trình chứa căn là một dạng toán phổ biến trong chương trình toán lớp 9 và lớp 10. Vậy có những dạng PT chứa căn nào? Phương pháp giải phương trình chứa căn?… Trong nội dung bài viết dưới dây, lltb3d.com sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề PT chứa căn, cùng tìm hiểu nhé!
Mục lục
1 Nhắc lại kiến thức căn bản 2 Tìm hiểu về phương trình chứa căn bậc 2 2.3 Phương pháp giải phương trình chứa căn bậc 2 lớp 9 nâng cao3 Tìm hiểu về phương trình chứa căn bậc 34 Tìm hiểu về phương trình chứa căn bậc 45 Tìm hiểu về bất phương trình chứa căn thức5.2 Cách giải bất phương trình chứa căn khó 6 Tìm hiểu về hệ phương trình chứa căn khó6.2 Giải hệ phương trình đối xứng loại 1 chứa căn
Nhắc lại kiến thức căn bản
Để giải quyết được các bài toán phương trình chứa căn thì đầu tiên các bạn phải nắm rõ được các kiến thức về căn thức cũng như các hằng đẳng thức quan trọng.
Đang xem: Phương pháp giải phương trình chứa căn
Định nghĩa căn thức là gì?
Căn bậc 2 (căn bậc hai) của một số (a) không âm là số (x) sao cho (x^2=a)
Như vậy, mỗi số dương (a) có hai căn bậc 2 là (sqrt{a};-sqrt{a})
Tương tự như vậy, ta có định nghĩa căn bậc 3, bậc 4:
Căn bậc 3 (căn bậc ba) của một số (a) là số (x) sao cho (x^3=a). Mỗi số (a) chỉ có duy nhất một căn bậc 3
Căn bậc 4 của một số (a) không âm là số (x) sao cho (x^4=a). Mỗi số dương (a) có hai căn bậc 4 là (sqrt<4>{a};-sqrt<4>{a})
Các hằng đẳng thức quan trọng
Tìm hiểu về phương trình chứa căn bậc 2
Định nghĩa phương trình chứa căn bậc 2 là gì?
Phương trình chứa căn bậc 2 là phương trình có chứa đại lượng (sqrt{f(x)}). Với dạng toán này, trước khi bắt đầu giải thì ta luôn phải tìm điều kiện để biểu thức trong căn có nghĩa, tức là tìm khoảng giá trị của (x) để (f(x) geq 0 ).
Phương pháp giải phương trình chứa căn bậc 2 đơn giản
Phương pháp bình phương 2 vế được sử dụng để giải PT chứa căn bậc 2. Đây được xem là phương pháp đơn giản và hay được sử dụng nhất, thường được dùng với các phương trình dạng: (sqrt{f(x)}=g(x))
Bước 1: Tìm điều kiện của (x) để (f(x) geq 0; g(x) geq 0)Bước 2: Bình phương hai vế, rồi rút gọnBước 3: Giải tìm (x) và kiểm tra có thỏa mãn điều kiện hay không.
Ví dụ :
Giải phương trình: (sqrt{x^2-4x+3}=3x-7)
Cách giải:
ĐKXĐ:
(left{egin{matrix} x^2-4x+3 geq 0\ 3x-7 geq 0 end{matrix}
ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} (x-1)(x-3)geq 0\3x geq 7 end{matrix}
ight.)
(Leftrightarrowleft{egin{matrix} left<egin{array}{l} x geq 3\x leq 1 end{array} ight.\ xgeq frac{7}{3} end{matrix} ight. Leftrightarrow xgeq 3)
Bình phương 2 vế, ta có :
(x^2-4x+3=3x-7 Leftrightarrow x^2-7x+10=0)
(Leftrightarrow (x-2)(x-5)=0 Leftrightarrow left<egin{array}{l} x=2\x=5 end{array} ight.)
Kiểm tra điều kiện thấy (x=5) thỏa mãn
Kết luận: Nghiệm của phương trình đã cho là (x=5)
Phương pháp giải phương trình chứa căn bậc 2 lớp 9 nâng cao
Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
Phương pháp này sử dụng các bất đẳng thức cơ bản để chứng minh:
Vế trái (geq) Vế phải hoặc Vế trái (leq) Vế phải rồi sau đó “ép” cho dấu “=” xảy ra.
Ví dụ :
Giải phương trình : (sqrt{5x-x^2-4} + sqrt{x-1} =2sqrt{2})
Cách làm :
Điều kiện xác định :
(left{egin{matrix} 5x-x^2-4 geq 0\ x-1 geq 0 end{matrix}
ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} (x-1)(x-4) leq 0\ x geq 1 end{matrix}
ight. Leftrightarrow 1leq x leq 4)
Áp dụng BĐT (sqrt{a} + sqrt{b} leq sqrt{2(a+b)}), ta có :
(sqrt{5x-x^2-4} + sqrt{x-1} leq sqrt{2(6x-x^2-5)})
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
( 5x-x^2-4=x-1 Leftrightarrow (x-1)(x-3)=0 )
( Leftrightarrow left<egin{array}{l} x=1\x=3 end{array} ight. hspace{1cm} (1))
Ta có : (6x-x^2-5 = -(x^2-6x+9)+4 =4-(x-3)^2leq 4)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x=3 hspace{1cm} (2))
Vậy :
(sqrt{5x-x^2-4} + sqrt{x-1} leq sqrt{2(6x-x^2-5)} leq sqrt{8}=2sqrt{2})
Do đó, để thỏa mãn phương trình đã cho thì ((1)(2)) phải thỏa mãn, hay (x=3)
Phương pháp đặt ẩn phụ quy về hệ phương trình
Với các phương trình dạng : (sqrt{f(x)} pm sqrt{g(x)} =k) ta có thể đặt ẩn phụ (left{egin{matrix} a=sqrt{f(x)}\ b=sqrt{g(x)} end{matrix}
ight.) rồi giải hệ phương trình hai ẩn (a,b)
Ví dụ :
Giải phương trình :(sqrt{x^2+5} – sqrt{x^2-3} =2)
Cách giải:
Điều kiện xác định : (left<egin{array}{l} x geq sqrt{3}\x leq -sqrt{3} end{array} ight.)
Đặt (left{egin{matrix} a= sqrt{x^2+5}\ b= sqrt{x^2-3} end{matrix}
ight.) ta có :
(left{egin{matrix} a-b =2\ a^2-b^2=8 end{matrix}
ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} a-b=2\ (a-b)(a+b)=8 end{matrix}
ight.)
(Leftrightarrow left{egin{matrix} a-b=2\a+b=4 end{matrix}
ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} a=3\ b=1 end{matrix}
ight.)
Thay vào ta tìm được (x=1) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình là (x=1)
Tìm hiểu về phương trình chứa căn bậc 3
Giải phương trình chứa căn bậc 3 (sqrt<3>{f(x)}=g(x))
Với dạng bài này, ta lập phương hai vế để phá bỏ căn thức rồi rút gọn sau đó quy về tìm nghiệm của phương trình : (g^3(x)-f(x)=0)
Ví dụ:
Giải phương trình : (sqrt<3>{3x-4}= x-2)
Cách giải:
Lập phương 2 vế phương trình ta có :
(3x-4=(x-2)^3Leftrightarrow x^3-6x^2+9x-4 =0)
(Leftrightarrow (x-1)^2(x-4)=0)
(Leftrightarrow left<egin{array}{l} x=1\x=4 end{array} ight.)
Giải phương trình chứa căn bậc 3 (sqrt<3>{A}+sqrt<3>{B}=sqrt<3>{C})
Với dạng bài này ta lập phương 2 vế, phương trình trở thành:
(A+B +3sqrt<3>{AB}(sqrt<3>{A}+sqrt<3>{B})=C)
Thay (sqrt<3>{A}+sqrt<3>{B}=sqrt<3>{C}) vào ta được :
(sqrt<3>{ABC}=C-A-B (2) )
Phương trình trở về dạng (sqrt<3>{f(x)}=g(x)).
Xem thêm: ” Đường Còn Dài Và Còn Nhiều Hơn Chông Gai, Dòng Thời Gian
Chú ý: Sau khi giải ra nghiệm, ta cần thử lại vào phương trình đã cho vì phương trình ((2)) chỉ là hệ quả của phương trình ban đầu
Ví dụ :
Giải phương trình :
(sqrt<3>{3x-4}+sqrt<3>{x+3}=sqrt<3>{4x-1})
Cách giải:
Lập phương 2 vế ta được :
((3x-4)+(x+3)+3sqrt<3>{(3x-4)(x+3)}.(sqrt<3>{3x-4}+sqrt<3>{x+3})=4x-1)
(Rightarrow 3sqrt<3>{(3x-4)(x+3)}.sqrt<3>{4x-1}=0)
(Rightarrow 3sqrt<3>{(3x-4)(x+3)}.sqrt<3>{4x-1}=0 Rightarrow left<egin{array}{l} x=frac{4}{3}\x=-3 \ x=frac{1}{4} end{array} ight.)
Thử lại thấy cả 3 nghiệm đều thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là : (frac{4}{3}; -3; frac{1}{4})
Tìm hiểu về phương trình chứa căn bậc 4
Định nghĩa phương trình chứa căn bậc 4 là gì?
Để giải phương trình chứa căn bậc 4 thì ta cần năm rõ hằng đẳng thức sau đây:
((x+y)^4=x^4 + 4 x^3 y + 6 x^2 y^2 + 4 x y^3 + y^4)
Phương pháp giải phương trình chứa căn bậc 4
Ví dụ :
Giải phương trình : (sqrt<4>{x^4-4x^3+17}-x+1)
Cách giải :
Điều kiện xác định :
( left{egin{matrix} x^4-4x^3+17 geq 0\ x geq 1 end{matrix}
ight.)
Phương trình đã cho tương đương với :
(sqrt<4>{x^4-4x^3+17}=x-1 Rightarrow x^4-4x^3+17=(x-1)^4)
(Rightarrow x^4-4x^3+17=x^4 – 4 x^3 + 6 x^2 – 4 x + 1)
(Rightarrow 6x^2-4x-16=0 Rightarrow (x-2)(3x+4)=0)
(Rightarrow left<egin{array}{l} x=2\x=-frac{4}{3} end{array} ight.)
Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của phương trình đã cho là (x=1)
Tìm hiểu về bất phương trình chứa căn thức
Về cơ bản, cách giải bất phương trình chứa căn thức không khác cách giải PT chứa căn nhiều, nhưng trong khi trình bày chúng ta cần chú ý về dấu của bất phương trình.
Các dạng bất phương trình chứa căn lớp 10
Cách giải bất phương trình chứa căn khó
Giải bất phương trình chứa căn bậc hai bằng cách bình phương hai vế
Các bước làm cũng tương tự cách giải PT chứa căn
Ví dụ :
Giải bất phương trình : (x-3-sqrt{5-x} geq 0)
Cách giải:
Điều kiện xác định :
(left{egin{matrix} x-3 geq 0\ 5-x geq 0 end{matrix}
ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} x geq 3\ x leq 5 end{matrix}
ight. Leftrightarrow 3 leq x leq 5)
Bất phương trình đã cho tương đương với :
(x-3 geq sqrt{5-x} Leftrightarrow x^2-6x+9 geq 5-x)
(Leftrightarrow x^2-5x+4 geq 0 Leftrightarrow (x-4)(x-1)geq 0)
(Leftrightarrow left{egin{matrix} x geq 4\ x leq 1 end{matrix}
ight.)
Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là (x in mathbb{R} | xgeq 4)
Giải bất phương trình chứa căn bậc hai bằng cách nhân liên hợp
Đây là phương pháp nâng cao, dùng để giải các bài toán bất PT chứa căn khó. Phương pháp này dựa trên việc áp dụng các đẳng thức sau :
(sqrt{a} – sqrt{b} =frac{a-b}{sqrt{a} + sqrt{b}})
(sqrt{a} + sqrt{b} =frac{a-b}{sqrt{a} – sqrt{b}})
(sqrt<3>{a} – sqrt<3>{b} = frac{a-b}{sqrt<3>{a^2}+sqrt<3>{ab}+sqrt<3>{b^2}})
(sqrt<3>{a} + sqrt<3>{b} = frac{a+b}{sqrt<3>{a^2}-sqrt<3>{ab}+sqrt<3>{b^2}})
Ví dụ :
Giải bất phương trình : (sqrt{x+5}-sqrt{2x+3} geq x^2-4)
Cách giải:
Điều kiện :
(left{egin{matrix} x geq -5\ x geq -frac{3}{2} end{matrix}
ight. Leftrightarrow xgeq -frac{3}{2})
Ta có:
(sqrt{x+5}-sqrt{2x+3} = frac{(x+5)- (2x+3)}{sqrt{x+5}+sqrt{2x+3}}=frac{2-x}{sqrt{x+5}+sqrt{2x+3}})
(x^2-4 =(x-2)(x+2))
Vậy bất phương trình đã cho tương đương với :
(frac{2-x}{sqrt{x+5}+sqrt{2x+3}}geq (x-2)(x+2))
(Leftrightarrow (x-2)(x+2+frac{1}{sqrt{x+5}+sqrt{2x+3}}) leq 0)
Từ ĐKXĐ có (x geq frac{3}{2} Rightarrow x+2 geq frac{1}{2} >0)
Vậy nên :
(x+2+frac{1}{sqrt{x+5}+sqrt{2x+3}} geq 0)
Vậy bất phương trình đã cho tương đương với :
(x-2 leq 0 Leftrightarrow x leq 2)
Kết hợp Điều kiện xác định ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là :
(-frac{3}{2} leq x leq 2)
Tìm hiểu về hệ phương trình chứa căn khó
Giải hệ phương trình chứa căn bằng phương pháp thế
Đây là phương pháp đơn giản và thường được sử dụng trong các bài toán hệ PT chứa căn. Để giải hệ phương trình chứa căn bằng phương pháp thế, ta làm theo các bước sau :
Bước 1: Tìm Điều kiện xác địnhBước 2: Chọn một phương trình đơn giản hơn trong số hai phương trình, biến đổi để quy về dạng: (x =f(y))Bước 3: Thay (x =f(y)) vào phương trình còn lại rồi giải phương trình theo ẩn (y)Bước 4: Từ (y) thay vào (x =f(y)) để tìm ra (x). Đối chiều với ĐKXĐ rồi kết luận
Ví dụ :
Giải hệ phương trình :
(left{egin{matrix} sqrt{x+1}=y+2\ sqrt{x+2y-1}=2y+1 end{matrix}
ight.)
Cách giải:
Điều kiện xác định :
(left{egin{matrix} xgeq -1\y geq -2 \ x geq 1-2y \ y geq -frac{1}{2} end{matrix}
ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} xgeq -1 \ x geq 1-2y \ y geq -frac{1}{2} end{matrix}
ight.)
Từ PT (1) ta có :
(x+1=(y+2)^2=y^2+4y+4)
(Leftrightarrow x= y^2-4y+3 hspace{1cm}(*))
Thay vào PT (2) ta được :
(sqrt{y^2+4y+3+2y-1} = 2y+1)
(Leftrightarrow y^2+6y+2 = 4y^2+4y+1)
(Leftrightarrow 3y^2 -2y-1 =0)
(Leftrightarrow (3y+1)(y-1)=0 Leftrightarrow left<egin{array}{l} y=1\ y=-frac{1}{3} end{array} ight.)
Thay vảo ((*)) ta được :
(left<egin{array}{l} y=1 ; x= 8\ y=-frac{1}{3}; x=frac{1}{9} end{array} ight.)
Kết hợp điều kiện xác định thấy cả hai cặp nghiệm đều thỏa mãn.
Xem thêm: Cách Xem Thời Gian Online Facebook Cua Nguoi Khac, Cách Xem Người Khác Có Online Facebook Hay Không
Giải hệ phương trình đối xứng loại 1 chứa căn
Nhắc lại về hệ phương trình đối xứng loại 1
Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình gồm 2 ẩn (x;y) sao cho khi ta thay đổi vai trò (x;y) cho nhau thì hệ phương trình không thay đổi:
(left{egin{matrix} f(x;y)=0\g(x;y)=0 end{matrix}
ight.)
Với:
(left{egin{matrix} f(x;y)=f(y;x)\g(x;y)= g(y;x) end{matrix}
ight.)
Phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1 chứa căn
Đối với dạng toán này, cách giải vẫn giống như các bước giải hệ phương trình đối xứng loại 1, chú ý có thêm bước tìm ĐKXĐ
Bước 1: Tìm Điều kiện xác địnhBước 2: Đặt (S = x + y; P = xy) (với (S^2 geq 4P)) . Khi đó, ta đưa hệ về hệ mới chứa (S;P) .Bước 3: Giải hệ mới tìm (S;P) . Chọn (S;P) thỏa mãn (S^2 geq 4P)Bước 4: Với (S;P) tìm được thì (x;y) là nghiệm của phương trình: (t^2 -St +P =0) ( sử dụng định lý Vi-ét đảo để giải )
Chú ý:
Một số biểu diễn đối xứng qua (S;P):
Nếu ((x;y)=(a;b)) là nghiệm thì ((x;y)=(b;a)) cũng là nghiệm của hệ phương trình
Ví dụ:
Giải hệ phương trình :
(left{egin{matrix} x+y-sqrt{xy}=3\ sqrt{x+1} + sqrt{y+1}=4 end{matrix}
ight.)
Cách giải :
ĐKXĐ:
(left{egin{matrix} x geq -1\y geq -1 \ xy geq 0 end{matrix}
ight. hspace{1cm} (*))
Đặt (S=x+y hspace{5mm}; P=xy) với (left{egin{matrix} S^2 geq 4P\ Pgeq 0 \ S geq -2 end{matrix}
ight. hspace{1cm} (**))
Bình phương 2 vế PT (2) hệ phương trình đã cho tương đương với :
(left{egin{matrix} x+y-sqrt{xy}=3\ x+y+2+sqrt{x+y+xy+1}=16 end{matrix}
ight.)
(Leftrightarrow left{egin{matrix} S- sqrt{P} =3 \S+2+2sqrt{S+P+1}=16 end{matrix}
ight.)
(Leftrightarrow left{egin{matrix} P= S^2 -6S +9\ S -14 =-2sqrt{S+P+1} end{matrix}
ight.) với (3leq Sleq 14)
Thay ( P= S^2 -6S +9 ) từ PT (1) vào PT (2) ta có :
(S-14 = -2sqrt{S^2-5S+10})
(Leftrightarrow S^2-28S+196 = 4(S^2-5S+10))
(Leftrightarrow 3S^2+8S-156=0 Leftrightarrow (S-6)(3S+26)=0)
(Leftrightarrow left{egin{matrix} S=6\S=-frac{26}3{} end{matrix}
ight.)
Kết hợp ĐKXĐ ta được (S=6 Rightarrow P=9)
Vậy (x;y) là nghiệm của phương trình :
(t^2-6t+9 =0 Leftrightarrow t=3)
Vậy (x=y=3) ( thỏa mãn điều kiện).
Bài viết trên đây của lltb3d.com đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết về PT chứa căn thức cũng như phương pháp giải phương trình chứa căn, bất phương trình, hệ PT chứa căn. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề phương trình chứa căn thức. Chúc bạn luôn học tốt!